This commit is contained in:
commit
c332bd8d28
90
index_0.html
Normal file
90
index_0.html
Normal file
@ -0,0 +1,90 @@
|
|||||||
|
<!DOCTYPE html>
|
||||||
|
<html lang="sv">
|
||||||
|
|
||||||
|
<head>
|
||||||
|
<meta charset="UTF-8">
|
||||||
|
<meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
|
||||||
|
<title>UPPGIFT1Webbutveckling</title>
|
||||||
|
<link rel="stylesheet" href="../M6/cssM6_0.css">
|
||||||
|
</head>
|
||||||
|
|
||||||
|
<body>
|
||||||
|
<header>
|
||||||
|
<h1>Vad är Derivata och hur deriverar man?</h1>
|
||||||
|
</header>
|
||||||
|
<nav>
|
||||||
|
<ul>
|
||||||
|
<li>Hem</li>
|
||||||
|
<li><a href="../M6/index_1.html">Hur betyder det med att derivera?</a></li>
|
||||||
|
<li><a href="../M6/index_2.html">Hur deriverar man</a></li>
|
||||||
|
<li><a href="../M6/index_3.html">Derivatans regler</a></li>
|
||||||
|
<li><a href="../M6/index_4.html">Derivatans historik</a></li>
|
||||||
|
</ul>
|
||||||
|
</nav>
|
||||||
|
<main>
|
||||||
|
<aside><img src="../Images/dydx.jpeg" alt="Derivatans tecken"></aside>
|
||||||
|
<section>
|
||||||
|
<h2>Introduktion till Derivata</h2>
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
<article><strong>Vad är <q>derivata?</q></strong>
|
||||||
|
|
||||||
|
<p>Tänk dig att du cyklar. Hastigheten du cyklar i ändras hela tiden, eller hur? Ibland cyklar du fort,
|
||||||
|
ibland långsamt, och ibland står du still. Derivatan är som en mätare som visar hur snabbt din
|
||||||
|
hastighet
|
||||||
|
ändras just nu. Med andra ord, derivatan berättar något om hur något förändras över tid.
|
||||||
|
|
||||||
|
</p>
|
||||||
|
|
||||||
|
<p>Varför är derivatan viktig?
|
||||||
|
|
||||||
|
Derivatan är ett viktigt verktyg inom matematiken.
|
||||||
|
<p><strong><u>Den används för att:</u></strong>
|
||||||
|
|
||||||
|
<strong>
|
||||||
|
<p>Beräkna hastigheter:</p>
|
||||||
|
</strong> Som när vi ville veta hur snabbt du cyklade.
|
||||||
|
</p>
|
||||||
|
<p><strong>Hitta extrempunkter:</strong></p> Det vill säga högsta och lägsta punkter på en graf. Till
|
||||||
|
exempel kan vi använda
|
||||||
|
derivatan för att hitta den kortaste vägen mellan två punkter.
|
||||||
|
<p><strong>Beskriva förändringar:</strong></p> Derivatan kan hjälpa oss att förstå hur olika saker
|
||||||
|
förändras över tid, till
|
||||||
|
exempel hur en befolkning växer eller hur temperaturen ändras under en dag.
|
||||||
|
Hur beräknar man en derivata?
|
||||||
|
</p>
|
||||||
|
<p>Att beräkna en derivata kan vara lite komplicerat, men det finns regler och metoder som gör det
|
||||||
|
lättare.
|
||||||
|
Det finns också många räknare och datorprogram som kan göra beräkningarna åt oss.
|
||||||
|
</p>
|
||||||
|
<p>
|
||||||
|
<strong>
|
||||||
|
<p><u>Ett enkelt exempel:</u></p>
|
||||||
|
</strong>
|
||||||
|
|
||||||
|
Låt oss säga att du har en funktion som beskriver hur långt du har cyklat efter en viss tid.
|
||||||
|
Derivatan
|
||||||
|
av den funktionen kommer då att berätta hur snabbt du cyklade vid varje given tidpunkt.
|
||||||
|
</p>
|
||||||
|
<p><strong><u>Varför ska jag lära mig om derivator?</u></strong>
|
||||||
|
|
||||||
|
<p><strong>För att förstå världen runt omkring dig:</strong></p> Många naturvetenskapliga fenomen kan
|
||||||
|
beskrivas med hjälp av
|
||||||
|
matematik, och derivatan är ett viktigt verktyg för att förstå dessa fenomen.
|
||||||
|
<p><strong>För att lösa problem:</strong></p> Derivatan kan användas för att lösa en mängd olika
|
||||||
|
problem, både inom
|
||||||
|
matematiken
|
||||||
|
och i andra ämnen.
|
||||||
|
<p><strong>För att utveckla din logiska förmåga:</strong></p> Att arbeta med derivator kräver att man
|
||||||
|
tänker logiskt och
|
||||||
|
strukturerat.
|
||||||
|
</p>
|
||||||
|
</article>
|
||||||
|
</section>
|
||||||
|
</main>
|
||||||
|
<footer>
|
||||||
|
<u><em>Amir Alsalakh, 07alam@skola.engelholm.se</em></u>
|
||||||
|
</footer>
|
||||||
|
</body>
|
||||||
|
|
||||||
|
</html>
|
||||||
51
index_1.html
Normal file
51
index_1.html
Normal file
@ -0,0 +1,51 @@
|
|||||||
|
<!DOCTYPE html>
|
||||||
|
<html lang="sv">
|
||||||
|
|
||||||
|
<head>
|
||||||
|
<meta charset="UTF-8">
|
||||||
|
<meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
|
||||||
|
<title>UPPGIFT1.1Webbutveckling</title>
|
||||||
|
<link rel="stylesheet" href="../M6/cssM6_1.css">
|
||||||
|
|
||||||
|
</head>
|
||||||
|
|
||||||
|
<body>
|
||||||
|
<header>
|
||||||
|
<h1>Hur betyder det med att Derivera?</h1>
|
||||||
|
</header>
|
||||||
|
<nav>
|
||||||
|
<ul>
|
||||||
|
<li><a href="../M6/index_0.html">Länk tillbaka</a></li>
|
||||||
|
</ul>
|
||||||
|
</nav>
|
||||||
|
<main>
|
||||||
|
<article>
|
||||||
|
<h1>Hur betyder det med att <strong><q>derivera?</q></strong></h1>
|
||||||
|
|
||||||
|
<p> <strong>Derivata:</strong> Ett mått på förändringshastighet
|
||||||
|
|
||||||
|
Inom matematiken används derivatan för att beskriva hur snabbt en funktion förändras i en given punkt.
|
||||||
|
Intuitivt kan man säga att derivatan anger lutningen på en kurva i en specifik punkt.
|
||||||
|
</p>
|
||||||
|
|
||||||
|
<p> <strong>Geometrisk tolkning:</strong>
|
||||||
|
|
||||||
|
Derivatan i en punkt på en kurva motsvarar lutningen på tangenten till kurvan i den punkten.
|
||||||
|
Tangenten är den räta linje som tangerar kurvan i just den punkten.
|
||||||
|
<p><strong><u>Användningsområden:</u></strong></p>
|
||||||
|
|
||||||
|
<p><strong>Optimering:</strong> Hitta maximala och minimala värden för en funktion.</p>
|
||||||
|
<p><strong>Fysik:</strong> Beskriva hastighet, acceleration och andra fysikaliska storheter.</p>
|
||||||
|
<p><strong>Ekonomi: </strong>Analysera förändringar i ekonomiska modeller.</p>
|
||||||
|
<p><strong>Geometri:</strong> Beräkna areor och volymer av olika geometriska figurer.</p>
|
||||||
|
</p>
|
||||||
|
|
||||||
|
</article>
|
||||||
|
|
||||||
|
</main>
|
||||||
|
<footer>
|
||||||
|
<u><em>Amir Alsalakh, 07alam@skola.engelholm.se</em></u>
|
||||||
|
</footer>
|
||||||
|
</body>
|
||||||
|
|
||||||
|
</html>
|
||||||
99
index_2.html
Normal file
99
index_2.html
Normal file
@ -0,0 +1,99 @@
|
|||||||
|
<!DOCTYPE html>
|
||||||
|
<html lang="sv">
|
||||||
|
|
||||||
|
<head>
|
||||||
|
<meta charset="UTF-8">
|
||||||
|
<meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
|
||||||
|
<title>UPPGIFT1.2Webbutveckling</title>
|
||||||
|
<link rel="stylesheet" href="../M6/cssm6_2.css">
|
||||||
|
</head>
|
||||||
|
|
||||||
|
<body>
|
||||||
|
<header>
|
||||||
|
<h1>Hur Deriverar man?</h1>
|
||||||
|
</header>
|
||||||
|
<nav>
|
||||||
|
<ul>
|
||||||
|
<li><a href="../M6/index_0.html">Länk tillbaka</a></li>
|
||||||
|
</ul>
|
||||||
|
</nav>
|
||||||
|
<main>
|
||||||
|
<article>
|
||||||
|
<h1>
|
||||||
|
Hur Deriverar man?
|
||||||
|
</h1>
|
||||||
|
|
||||||
|
<p>
|
||||||
|
Derivatan - en definition
|
||||||
|
Derivatan av en funktion, betecknad f'(x), är ett mått på hur snabbt funktionens värde förändras i en
|
||||||
|
given punkt. Intuitivt kan man säga att derivatan motsvarar lutningen på tangenten till kurvan i den
|
||||||
|
punkten.
|
||||||
|
|
||||||
|
Formell definition:
|
||||||
|
Derivatan av en funktion f(x) i punkten x=a definieras som gränsvärdet:
|
||||||
|
|
||||||
|
<p>f'(a) = lim(h→0) [f(a+h) - f(a)] / h </p>
|
||||||
|
<p> <strong>Vad betyder detta?</strong> </p>
|
||||||
|
<p>
|
||||||
|
<p><strong>h:</strong> En liten förändring i x-värdet.</p>
|
||||||
|
<strong>f(a+h):</strong> Funktionsvärdet när vi ökar x med en liten bit h.
|
||||||
|
f(a): Funktionsvärdet i punkten a.
|
||||||
|
<p><strong>Gränsvärdet:</strong> När h blir väldigt litet, närmar sig uttrycket derivatan i punkten a.
|
||||||
|
<p><strong><u> Exempel:</u></strong></p> <strong>Derivera f(x) = x²</strong></p>
|
||||||
|
Låt oss beräkna derivatan av funktionen f(x) = x² i en godtycklig punkt x=a. Vi använder derivatans
|
||||||
|
definition:
|
||||||
|
</p>
|
||||||
|
<p> f'(a) = lim(h→0) [(a+h)² - a²] / h</p>
|
||||||
|
<p>Utvecklar vi kvadraten får vi:</p>
|
||||||
|
<ul>
|
||||||
|
<li>
|
||||||
|
<p>f'(a) = lim(h→0) [a² + 2ah + h² - a²] / h</p>
|
||||||
|
</li>
|
||||||
|
<li>
|
||||||
|
<p>Förenkla:</p>
|
||||||
|
</li>
|
||||||
|
<li>
|
||||||
|
<p>f'(a) = lim(h→0) [2ah + h²] / h</p>
|
||||||
|
</li>
|
||||||
|
<li>
|
||||||
|
<p>Bryt ut h i täljaren:</p>
|
||||||
|
</li>
|
||||||
|
<li>
|
||||||
|
<p>f'(a) = lim(h→0) h(2a + h) / h</p>
|
||||||
|
</li>
|
||||||
|
<li>
|
||||||
|
<p>Förkorta med h:</p>
|
||||||
|
</li>
|
||||||
|
<li>
|
||||||
|
<p>f'(a) = lim(h→0) (2a + h)</p>
|
||||||
|
</li>
|
||||||
|
<li>
|
||||||
|
<p>När h går mot noll, går även uttrycket (2a + h) mot 2a. Alltså:</p>
|
||||||
|
</li>
|
||||||
|
<li>
|
||||||
|
<p> f'(a) = 2a</p>
|
||||||
|
</li>
|
||||||
|
<li>
|
||||||
|
<p>
|
||||||
|
<p><strong>Slutsats:</strong></p> Derivatan av funktionen f(x) = x² är f'(x) = 2x.</p>
|
||||||
|
</li>
|
||||||
|
</ul>
|
||||||
|
<p><u><strong>Tolkning av derivatan</strong></u></p>
|
||||||
|
<p>Lutning på tangenten: Derivatan f'(x) anger lutningen på tangenten till kurvan y = x² i punkten x.
|
||||||
|
<p><strong>Förändringshastighet: </strong>Derivatan berättar hur snabbt funktionens värde förändras i
|
||||||
|
förhållande till
|
||||||
|
förändringen i x. I exemplet med f(x) = x² ökar funktionens värde dubbelt så snabbt som x ökar.</p>
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
</article>
|
||||||
|
<aside>
|
||||||
|
<img src="../Images/Derivatansdef.png" width="700" height="700" alt ="Derivatans Defintion">
|
||||||
|
</aside>
|
||||||
|
|
||||||
|
</main>
|
||||||
|
<footer>
|
||||||
|
<u><em>Amir Alsalakh, 07alam@skola.engelholm.se</em></u>
|
||||||
|
</footer>
|
||||||
|
</body>
|
||||||
|
|
||||||
|
</html>
|
||||||
138
index_3.html
Normal file
138
index_3.html
Normal file
@ -0,0 +1,138 @@
|
|||||||
|
<!DOCTYPE html>
|
||||||
|
<html lang="sv">
|
||||||
|
|
||||||
|
<head>
|
||||||
|
<meta charset="UTF-8">
|
||||||
|
<meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
|
||||||
|
<title>UPPGIFT1.3Webbutveckling</title>
|
||||||
|
<link rel="stylesheet" href="../M6/cssM6_3.css">
|
||||||
|
</head>
|
||||||
|
|
||||||
|
<body>
|
||||||
|
<header>
|
||||||
|
<h1>Derivatans regler</h1>
|
||||||
|
</header>
|
||||||
|
<nav>
|
||||||
|
<ul>
|
||||||
|
<li><a href="../M6/index_0.html">Länk tillbaka</a></li>
|
||||||
|
</ul>
|
||||||
|
</nav>
|
||||||
|
<main>
|
||||||
|
<article>
|
||||||
|
<h1>
|
||||||
|
Derivatans Regler
|
||||||
|
</h1>
|
||||||
|
<p> Derivatan, ett grundläggande begrepp inom differentialräkningen, används för att beskriva
|
||||||
|
förändringshastigheten hos en funktion i en given punkt. För att effektivisera beräkningen av derivator
|
||||||
|
har matematiker utvecklat ett system av regler, så kallade deriveringsregler.
|
||||||
|
</p>
|
||||||
|
<p>
|
||||||
|
<p><strong><u>Syftet med deriveringsregler: </u></strong></p>
|
||||||
|
</p>
|
||||||
|
<p><strong>Standardisering:</strong> Att tillhandahålla en enhetlig metod för att beräkna derivator av olika
|
||||||
|
typer av
|
||||||
|
funktioner.
|
||||||
|
<p><strong>Effektivitet:</strong> Att förenkla beräkningsprocessen genom att undvika upprepade tillämpningar
|
||||||
|
av derivatans
|
||||||
|
definition.</p>
|
||||||
|
<p><strong>Innehåll i derivators regler:</strong></p>
|
||||||
|
|
||||||
|
<u><strong>Deriveringsreglerna beskriver systematiska metoder för att beräkna derivator av följande typer av
|
||||||
|
funktioner:</strong></u>
|
||||||
|
</p>
|
||||||
|
<p>
|
||||||
|
<p><strong>Potensfunktioner:</strong> Funktioner på formen f(x) = x<sup>n</sup>, där n är ett tal.</p>
|
||||||
|
<p> <strong>Summor och differenser:</strong> Funktioner som består av flera termer som adderas eller
|
||||||
|
subtraheras.</p>
|
||||||
|
<p> <strong>Produkter: </strong> Funktioner som är resultatet av multiplikation av två eller flera
|
||||||
|
funktioner.</p>
|
||||||
|
<p><strong>Kvoter:</strong> Funktioner som är resultatet av division av två funktioner.</p>
|
||||||
|
<p><strong>Sammansatta funktioner:</strong> Funktioner som består av en funktion som är "insatt" i en annan
|
||||||
|
funktion.</p>
|
||||||
|
<strong><u>Betydelsen av derivators regler:</u></strong>
|
||||||
|
</p>
|
||||||
|
<p><strong>Grundläggande för vidare studier:</strong> Derivator är en fundamental del av matematiken och
|
||||||
|
används inom många
|
||||||
|
andra ämnesområden, såsom fysik, ekonomi och teknik.
|
||||||
|
<p><strong> Problemlösning:</strong> Derivator är ett kraftfullt verktyg för att lösa problem inom olika
|
||||||
|
områden, till
|
||||||
|
exempel att hitta extrempunkter (maxima och minima) och optimera funktioner.</p>
|
||||||
|
<strong><u>Innehållet i denna kategori:</u></strong>
|
||||||
|
</p>
|
||||||
|
<p>I denna kategorin så kommer vi att presentera de vanligaste deriveringsreglerna och illustrera deras
|
||||||
|
tillämpning på olika typer av funktioner. Vi kommer också att visa hur derivator kan användas för att
|
||||||
|
lösa matematiska problem.</p>
|
||||||
|
</article>
|
||||||
|
|
||||||
|
<table border="1">
|
||||||
|
<caption><u>Derivatans Regler:</u></caption>
|
||||||
|
<thead>
|
||||||
|
|
||||||
|
<tr>
|
||||||
|
<th>f(x)</th>
|
||||||
|
<th>f'(x)</th>
|
||||||
|
</tr>
|
||||||
|
</thead>
|
||||||
|
<tbody>
|
||||||
|
<tr>
|
||||||
|
<td>kX<sup>n</sup></td>
|
||||||
|
|
||||||
|
<td>knX<sup>n-1</sup></td>
|
||||||
|
</tr>
|
||||||
|
<tr>
|
||||||
|
<td>a<sup>X</sup></td>
|
||||||
|
<td>a<sup>x</sup> * ln(a) </td>
|
||||||
|
<tr>
|
||||||
|
<td>ln(x)</td>
|
||||||
|
<td>1/x</td>
|
||||||
|
|
||||||
|
</tr>
|
||||||
|
<tr>
|
||||||
|
<td>e<sup>X</sup></td>
|
||||||
|
<td>e<sup>X</sup></td>
|
||||||
|
|
||||||
|
</tr>
|
||||||
|
<tr>
|
||||||
|
<td>e<sup>kX</sup></td>
|
||||||
|
<td>k * e<sup>kX</sup></td>
|
||||||
|
</tr>
|
||||||
|
<tr>
|
||||||
|
<td>1/X</td>
|
||||||
|
<td>-1/x²</td>
|
||||||
|
|
||||||
|
</tr>
|
||||||
|
<tr>
|
||||||
|
<td>sin(x)</td>
|
||||||
|
<td>cos(x)</td>
|
||||||
|
</tr>
|
||||||
|
<tr>
|
||||||
|
<td>cos(x)</td>
|
||||||
|
<td>-sin(x)</td>
|
||||||
|
</tr>
|
||||||
|
<tr>
|
||||||
|
<td>tan(x)</td>
|
||||||
|
<td>sec<sup>2</sup>(x)</td>
|
||||||
|
</tr>
|
||||||
|
<tr>
|
||||||
|
<td>f(x) + g(x)</td>
|
||||||
|
<td>f'(x) + g'(x)</td>
|
||||||
|
</tr>
|
||||||
|
<tr>
|
||||||
|
<td> f(x) * g(x) </td>
|
||||||
|
<td> f'(x) * g(x) + f(x) * g(x) </td>
|
||||||
|
</tr>
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
</tbody>
|
||||||
|
|
||||||
|
</table>
|
||||||
|
|
||||||
|
</main>
|
||||||
|
<footer>
|
||||||
|
<u><em>Amir Alsalakh, 07alam@skola.engelholm.se</em></u>
|
||||||
|
</footer>
|
||||||
|
</body>
|
||||||
|
|
||||||
|
</html>
|
||||||
67
index_4.html
Normal file
67
index_4.html
Normal file
@ -0,0 +1,67 @@
|
|||||||
|
<!DOCTYPE html>
|
||||||
|
<html lang="sv">
|
||||||
|
|
||||||
|
<head>
|
||||||
|
<meta charset="UTF-8">
|
||||||
|
<meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
|
||||||
|
<title>UPPGIFT1Webbutveckling</title>
|
||||||
|
<link rel="stylesheet" href="../M6/cssM6_4.css">
|
||||||
|
</head>
|
||||||
|
|
||||||
|
<body>
|
||||||
|
<header>
|
||||||
|
<h1>Derivatans Historik</h1>
|
||||||
|
</header>
|
||||||
|
<nav>
|
||||||
|
<ul>
|
||||||
|
<li><a href="../M6/index_0.html">Länk tillbaka</a></li>
|
||||||
|
</ul>
|
||||||
|
</nav>
|
||||||
|
<main>
|
||||||
|
<article>
|
||||||
|
<h1>
|
||||||
|
Derivatans Historik:
|
||||||
|
</h1>
|
||||||
|
<p><strong>Derivatan: </strong>En historisk utveckling
|
||||||
|
|
||||||
|
<p>Begreppet derivata har sina rötter i antiken, där matematiker som Arkimedes och Eudoxus studerade
|
||||||
|
tangenter till kurvor och förändringshastigheter. Dessa tidiga undersökningar lade grunden för den
|
||||||
|
moderna derivatakalkylen.
|
||||||
|
</p>
|
||||||
|
<p>
|
||||||
|
<p><strong>1700-talet: Newtons och Leibnizs bidrag</strong></p>
|
||||||
|
Det var dock under 1700-talet som derivatakalkylen utvecklades till en systematisk teori. Isaac Newton och
|
||||||
|
Gottfried Wilhelm Leibniz, oberoende av varandra, utvecklade grundläggande begrepp och notationer för
|
||||||
|
derivatan. De insåg att derivatan representerar den momentana förändringshastigheten hos en funktion i en
|
||||||
|
given punkt. Newton använde derivatan inom fysiken för att beskriva rörelse och krafter, medan Leibniz
|
||||||
|
fokuserade på den geometriska tolkningen av derivatan som lutningen på en kurva.</p>
|
||||||
|
|
||||||
|
<p>
|
||||||
|
<p><strong>1800-talet: Rigorisering</strong></p>
|
||||||
|
Under 1800-talet genomgick derivatakalkylen en period av rigorös utveckling. Matematiker som Augustin-Louis
|
||||||
|
Cauchy och Bernhard Riemann arbetade med att ge en mer exakt definition av gränsvärdet, vilket är centralt
|
||||||
|
för begreppet derivata. Cauchy formulerade en mer rigorös definition av derivatan som ett gränsvärde av en
|
||||||
|
differenskvot, vilket lade grunden för den moderna analysen.
|
||||||
|
</p>
|
||||||
|
<p>
|
||||||
|
<p><strong>1900-talet och framåt: Generaliseringar och tillämpningar</strong></p>
|
||||||
|
Under 1900-talet generaliserades derivatakalkylen till mer abstrakta matematiska objekt, såsom funktioner av
|
||||||
|
flera variabler och funktioner definierade på mer allmänna mängder. Derivator används idag inom en mängd
|
||||||
|
olika områden, inklusive fysik, ekonomi, teknik och datavetenskap.</p>
|
||||||
|
</p>
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
</article>
|
||||||
|
<aside>
|
||||||
|
<img src="../Images/Newton.jpeg" width="340" height="310" alt="Newton">
|
||||||
|
<img src="../Images/Leibniz.webp" alt="Leibniz">
|
||||||
|
</aside>
|
||||||
|
|
||||||
|
</main>
|
||||||
|
<footer>
|
||||||
|
<u><em>Amir Alsalakh, 07alam@skola.engelholm.se</em></u>
|
||||||
|
</footer>
|
||||||
|
</body>
|
||||||
|
|
||||||
|
</html>
|
||||||
Loading…
Reference in New Issue
Block a user