Date: Mon Oct 7 23:28:16 2024 +0000 https://gitea.egyweb.se/Amiralsallakh/egy-git-M6.git diff --git a/index_0.html b/index_0.html new file mode 100644 index 0000000..f116991 --- /dev/null +++ b/index_0.html @@ -0,0 +1,90 @@ + + + + + + + UPPGIFT1Webbutveckling + + + + +

Vad är Derivata och hur deriverar man?

+ +

Introduktion till Derivata

+ + +

Vad är derivata? + +

Tänk dig att du cyklar. Hastigheten du cyklar i ändras hela tiden, eller hur? Ibland cyklar du fort, + ibland långsamt, och ibland står du still. Derivatan är som en mätare som visar hur snabbt din + hastighet + ändras just nu. Med andra ord, derivatan berättar något om hur något förändras över tid. + +

+ +

Varför är derivatan viktig? + + Derivatan är ett viktigt verktyg inom matematiken. +

Den används för att: + + +

Beräkna hastigheter:

+ Som när vi ville veta hur snabbt du cyklade. +

Hitta extrempunkter:

Det vill säga högsta och lägsta punkter på en graf. Till + exempel kan vi använda + derivatan för att hitta den kortaste vägen mellan två punkter. +

Beskriva förändringar:

Derivatan kan hjälpa oss att förstå hur olika saker + förändras över tid, till + exempel hur en befolkning växer eller hur temperaturen ändras under en dag. + Hur beräknar man en derivata? +

Att beräkna en derivata kan vara lite komplicerat, men det finns regler och metoder som gör det + lättare. + Det finns också många räknare och datorprogram som kan göra beräkningarna åt oss. +

+ +

Ett enkelt exempel:

+ + + Låt oss säga att du har en funktion som beskriver hur långt du har cyklat efter en viss tid. + Derivatan + av den funktionen kommer då att berätta hur snabbt du cyklade vid varje given tidpunkt. +

Varför ska jag lära mig om derivator? + +

För att förstå världen runt omkring dig:

Många naturvetenskapliga fenomen kan + beskrivas med hjälp av + matematik, och derivatan är ett viktigt verktyg för att förstå dessa fenomen. +

För att lösa problem:

Derivatan kan användas för att lösa en mängd olika + problem, både inom + matematiken + och i andra ämnen. +

För att utveckla din logiska förmåga:

Att arbeta med derivator kräver att man + tänker logiskt och + strukturerat. +

+ + + + \ No newline at end of file diff --git a/index_1.html b/index_1.html new file mode 100644 index 0000000..843d013 --- /dev/null +++ b/index_1.html @@ -0,0 +1,51 @@ + + + + + + + UPPGIFT1.1Webbutveckling + + + + + +

Hur betyder det med att Derivera?

+ +

Hur betyder det med att derivera?

+ +

Derivata: Ett mått på förändringshastighet + + Inom matematiken används derivatan för att beskriva hur snabbt en funktion förändras i en given punkt. + Intuitivt kan man säga att derivatan anger lutningen på en kurva i en specifik punkt. +

+ +

Geometrisk tolkning: + + Derivatan i en punkt på en kurva motsvarar lutningen på tangenten till kurvan i den punkten. + Tangenten är den räta linje som tangerar kurvan i just den punkten. +

Användningsområden:

+ +

Optimering: Hitta maximala och minimala värden för en funktion.

Fysik: Beskriva hastighet, acceleration och andra fysikaliska storheter.

Ekonomi: Analysera förändringar i ekonomiska modeller.

Geometri: Beräkna areor och volymer av olika geometriska figurer.

+ +

+ + + + \ No newline at end of file diff --git a/index_2.html b/index_2.html new file mode 100644 index 0000000..23faab2 --- /dev/null +++ b/index_2.html @@ -0,0 +1,99 @@ + + + + + + + UPPGIFT1.2Webbutveckling + + + + +

Hur Deriverar man?

+ +

+ Hur Deriverar man? +

+ +

+ Derivatan - en definition + Derivatan av en funktion, betecknad f'(x), är ett mått på hur snabbt funktionens värde förändras i en + given punkt. Intuitivt kan man säga att derivatan motsvarar lutningen på tangenten till kurvan i den + punkten. + + Formell definition: + Derivatan av en funktion f(x) i punkten x=a definieras som gränsvärdet: + +

f'(a) = lim(h→0) [f(a+h) - f(a)] / h

Vad betyder detta?

h: En liten förändring i x-värdet.

+ f(a+h): Funktionsvärdet när vi ökar x med en liten bit h. + f(a): Funktionsvärdet i punkten a. +

Gränsvärdet: När h blir väldigt litet, närmar sig uttrycket derivatan i punkten a. +

Exempel:

Derivera f(x) = x²

+ Låt oss beräkna derivatan av funktionen f(x) = x² i en godtycklig punkt x=a. Vi använder derivatans + definition: +

f'(a) = lim(h→0) [(a+h)² - a²] / h

Utvecklar vi kvadraten får vi:

+
f'(a) = lim(h→0) [a² + 2ah + h² - a²] / h
+
+
Förenkla:
+
+
f'(a) = lim(h→0) [2ah + h²] / h
+
+
Bryt ut h i täljaren:
+
+
f'(a) = lim(h→0) h(2a + h) / h
+
+
Förkorta med h:
+
+
f'(a) = lim(h→0) (2a + h)
+
+
När h går mot noll, går även uttrycket (2a + h) mot 2a. Alltså:
+
+
f'(a) = 2a
+
+
+
Slutsats:
Derivatan av funktionen f(x) = x² är f'(x) = 2x.
+

Tolkning av derivatan

Lutning på tangenten: Derivatan f'(x) anger lutningen på tangenten till kurvan y = x² i punkten x. +

Förändringshastighet: Derivatan berättar hur snabbt funktionens värde förändras i + förhållande till + förändringen i x. I exemplet med f(x) = x² ökar funktionens värde dubbelt så snabbt som x ökar.

+ + +

+ + + + \ No newline at end of file diff --git a/index_3.html b/index_3.html new file mode 100644 index 0000000..a4eafa6 --- /dev/null +++ b/index_3.html @@ -0,0 +1,138 @@ + + + + + + + UPPGIFT1.3Webbutveckling + + + + +

Derivatans regler

+ +

+ Derivatans Regler +

Derivatan, ett grundläggande begrepp inom differentialräkningen, används för att beskriva + förändringshastigheten hos en funktion i en given punkt. För att effektivisera beräkningen av derivator + har matematiker utvecklat ett system av regler, så kallade deriveringsregler. +

Syftet med deriveringsregler:

Standardisering: Att tillhandahålla en enhetlig metod för att beräkna derivator av olika + typer av + funktioner. +

Effektivitet: Att förenkla beräkningsprocessen genom att undvika upprepade tillämpningar + av derivatans + definition.

Innehåll i derivators regler:

+ + Deriveringsreglerna beskriver systematiska metoder för att beräkna derivator av följande typer av + funktioner: +

Potensfunktioner: Funktioner på formen f(x) = xⁿ, där n är ett tal.

Summor och differenser: Funktioner som består av flera termer som adderas eller + subtraheras.

Produkter: Funktioner som är resultatet av multiplikation av två eller flera + funktioner.

Kvoter: Funktioner som är resultatet av division av två funktioner.

Sammansatta funktioner: Funktioner som består av en funktion som är "insatt" i en annan + funktion.

+ Betydelsen av derivators regler: +

Grundläggande för vidare studier: Derivator är en fundamental del av matematiken och + används inom många + andra ämnesområden, såsom fysik, ekonomi och teknik. +

Problemlösning: Derivator är ett kraftfullt verktyg för att lösa problem inom olika + områden, till + exempel att hitta extrempunkter (maxima och minima) och optimera funktioner.

+ Innehållet i denna kategori: +

I denna kategorin så kommer vi att presentera de vanligaste deriveringsreglerna och illustrera deras + tillämpning på olika typer av funktioner. Vi kommer också att visa hur derivator kan användas för att + lösa matematiska problem.

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

Derivatans Regler:
f(x)	f'(x)
kXⁿ	knX^n-1
a^X	a^x * ln(a)
ln(x)	1/x
e^X	e^X
e^kX	k * e^kX
1/X	-1/x²
sin(x)	cos(x)
cos(x)	-sin(x)
tan(x)	sec²(x)
f(x) + g(x)	f'(x) + g'(x)
f(x) * g(x)	f'(x) * g(x) + f(x) * g(x)

+ +

+ + + + \ No newline at end of file diff --git a/index_4.html b/index_4.html new file mode 100644 index 0000000..3495ec0 --- /dev/null +++ b/index_4.html @@ -0,0 +1,67 @@ + + + + + + + UPPGIFT1Webbutveckling + + + + +

Derivatans Historik

+ +

+ Derivatans Historik: +

Derivatan: En historisk utveckling + +

Begreppet derivata har sina rötter i antiken, där matematiker som Arkimedes och Eudoxus studerade + tangenter till kurvor och förändringshastigheter. Dessa tidiga undersökningar lade grunden för den + moderna derivatakalkylen. +

1700-talet: Newtons och Leibnizs bidrag

+ Det var dock under 1700-talet som derivatakalkylen utvecklades till en systematisk teori. Isaac Newton och + Gottfried Wilhelm Leibniz, oberoende av varandra, utvecklade grundläggande begrepp och notationer för + derivatan. De insåg att derivatan representerar den momentana förändringshastigheten hos en funktion i en + given punkt. Newton använde derivatan inom fysiken för att beskriva rörelse och krafter, medan Leibniz + fokuserade på den geometriska tolkningen av derivatan som lutningen på en kurva.

+ +

1800-talet: Rigorisering

+ Under 1800-talet genomgick derivatakalkylen en period av rigorös utveckling. Matematiker som Augustin-Louis + Cauchy och Bernhard Riemann arbetade med att ge en mer exakt definition av gränsvärdet, vilket är centralt + för begreppet derivata. Cauchy formulerade en mer rigorös definition av derivatan som ett gränsvärde av en + differenskvot, vilket lade grunden för den moderna analysen. +

1900-talet och framåt: Generaliseringar och tillämpningar

+ Under 1900-talet generaliserades derivatakalkylen till mer abstrakta matematiska objekt, såsom funktioner av + flera variabler och funktioner definierade på mer allmänna mängder. Derivator används idag inom en mängd + olika områden, inklusive fysik, ekonomi, teknik och datavetenskap.

+ + + +

+ + +

+ + + + \ No newline at end of file