Hur Deriverar man?
Derivatan - en definition Derivatan av en funktion, betecknad f'(x), är ett mått på hur snabbt funktionens värde förändras i en given punkt. Intuitivt kan man säga att derivatan motsvarar lutningen på tangenten till kurvan i den punkten. Formell definition: Derivatan av en funktion f(x) i punkten x=a definieras som gränsvärdet:
f'(a) = lim(h→0) [f(a+h) - f(a)] / h
Vad betyder detta?
h: En liten förändring i x-värdet.
f(a+h): Funktionsvärdet när vi ökar x med en liten bit h. f(a): Funktionsvärdet i punkten a.Gränsvärdet: När h blir väldigt litet, närmar sig uttrycket derivatan i punkten a.
Exempel:
Derivera f(x) = x² Låt oss beräkna derivatan av funktionen f(x) = x² i en godtycklig punkt x=a. Vi använder derivatans definition:f'(a) = lim(h→0) [(a+h)² - a²] / h
Utvecklar vi kvadraten får vi:
-
f'(a) = lim(h→0) [a² + 2ah + h² - a²] / h
-
Förenkla:
-
f'(a) = lim(h→0) [2ah + h²] / h
-
Bryt ut h i täljaren:
-
f'(a) = lim(h→0) h(2a + h) / h
-
Förkorta med h:
-
f'(a) = lim(h→0) (2a + h)
-
När h går mot noll, går även uttrycket (2a + h) mot 2a. Alltså:
-
f'(a) = 2a
-
Slutsats:
Derivatan av funktionen f(x) = x² är f'(x) = 2x.
Tolkning av derivatan
Lutning på tangenten: Derivatan f'(x) anger lutningen på tangenten till kurvan y = x² i punkten x.
Förändringshastighet: Derivatan berättar hur snabbt funktionens värde förändras i förhållande till förändringen i x. I exemplet med f(x) = x² ökar funktionens värde dubbelt så snabbt som x ökar.