- Hur Deriverar man? -
- -- Derivatan - en definition - Derivatan av en funktion, betecknad f'(x), är ett mått på hur snabbt funktionens värde förändras i en - given punkt. Intuitivt kan man säga att derivatan motsvarar lutningen på tangenten till kurvan i den - punkten. - - Formell definition: - Derivatan av en funktion f(x) i punkten x=a definieras som gränsvärdet: - -
f'(a) = lim(h→0) [f(a+h) - f(a)] / h
-Vad betyder detta?
--
h: En liten förändring i x-värdet.
- f(a+h): Funktionsvärdet när vi ökar x med en liten bit h. - f(a): Funktionsvärdet i punkten a. -Gränsvärdet: När h blir väldigt litet, närmar sig uttrycket derivatan i punkten a. -
Exempel:
Derivera f(x) = x² - Låt oss beräkna derivatan av funktionen f(x) = x² i en godtycklig punkt x=a. Vi använder derivatans - definition: - -f'(a) = lim(h→0) [(a+h)² - a²] / h
-Utvecklar vi kvadraten får vi:
--
-
-
-
f'(a) = lim(h→0) [a² + 2ah + h² - a²] / h
-
- -
-
Förenkla:
-
- -
-
f'(a) = lim(h→0) [2ah + h²] / h
-
- -
-
Bryt ut h i täljaren:
-
- -
-
f'(a) = lim(h→0) h(2a + h) / h
-
- -
-
Förkorta med h:
-
- -
-
f'(a) = lim(h→0) (2a + h)
-
- -
-
När h går mot noll, går även uttrycket (2a + h) mot 2a. Alltså:
-
- -
-
f'(a) = 2a
-
- -
-
-
Slutsats:
Derivatan av funktionen f(x) = x² är f'(x) = 2x. -
-
Tolkning av derivatan
-Lutning på tangenten: Derivatan f'(x) anger lutningen på tangenten till kurvan y = x² i punkten x. -
Förändringshastighet: Derivatan berättar hur snabbt funktionens värde förändras i - förhållande till - förändringen i x. I exemplet med f(x) = x² ökar funktionens värde dubbelt så snabbt som x ökar.
- - -